Vanishing theorem 1

$\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Spec}{\mathrm{Spec}\,} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\bb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\m}{\mathfrak{m}} \newcommand{\GL}{\mathrm{GL}} \newcommand{\et}{\mathsf{\acute{e}t}} \newcommand{\lara}[1]{\langle #1 \rangle} \newcommand{\leris}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\lerim}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\leril}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}} \newcommand{\Tor}{\mathrm{Tor}} \newcommand{\Ext}{\mathrm{Ext}} \newcommand{\holim}{\mathrm{holim}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\Gal}{\mathrm{Gal}} \newcommand{\Mod}{\mathsf{Mod}} \newcommand{\coker}{\mathrm{coker}} \newcommand{\Im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}} \newcommand{\unr}{\mathrm{unr}} \newcommand{\End}{\mathrm{End}} \newcommand{\op}{\mathrm{op}} \newcommand{\Sh}{\mathsf{Sh}} \newcommand{\Sch}{\mathsf{Sch}} \newcommand{\Set}{\mathrm{Set}} \newcommand{\Alg}{\mathsf{Alg}} \newcommand{\p}{\mathfrak{p}} \newcommand{\colim}{\mathrm{colim}} \newcommand{\Supp}{\mathrm{Supp}}$

제가 정수론을 전공하려고 했지만 지도교수로 삼으려고 했던 사람이 절 거부하는 바람에 전공을 바꿔야 하는 처지가 되었어요(...) 따라서 이 글은 제가 전공을 바꾸려는 시도들 중 하나가 될 것 같아요. main reference는 Fujino의 foundation of minimal model program이에요.

Lemma. $X$가 smooth projective variety고 $\Delta$가 a reduced simple normal crossing divisor on $X$라고 하자. 그리고 $D$가 effective Cartier divisor on $X$라고 하고 $\Supp D\subseteq \Supp \Delta$라고 하자. 그러면 natural inclution $\O_X(-D)\subseteq \O_X$에서 만들어지는

$$ H^i(X,\O_X(-D-\Delta))\to H^i(X,\O_X(-\Delta))$$

는 모든 $i$에 대해서 surjection이 된다. Serre duality를 생각하면 이 말은 $\O_X\subseteq \O_X(D)$로 만들어지는

$$ H^i(X,\O_X(K_X+\Delta))\to H^i(X,\O_X(K_X+\Delta+D))$$

가 injection이란 말과 같다.

Proof) 다음 spectral sequence를 생각해요.

$$ E^{ij}_1=H^i(X,\Omega^j_X(\log \Delta)\otimes \O_X(-\Delta))\implies H^{i+j}_c(X\setminus \Delta,\C)$$

그럼

• 1. 저 spectral sequence가 진짜 있나?
• 2. 저 spectral sequence가 $r=1$에서 degenerate하나?

이 두 질문을 할 수 있겠지요. 첫번째에 대해선 $\Omega^{\bullet}_X(\log \Delta)\otimes\O_X(-\Delta)$란 complex를 생각하고 여기에 대해서 stupid filtration을 생각한다면

$$ E^{ij})1=H^i(X,\Omega^j_X(\log \Delta)\otimes \O_X(-\Delta))\implies H^{i+j}(X,\Omega^{\bullet}_X(\log \Delta)\otimes \O_X(-\Delta))$$

까진 있어야 할 거란 말이에요?? 그러면 남은 건

$$ H^i(X,\Omega^{\bullet}_X(\log \Delta)\otimes \O_X(-\Delta))=H^i_c(X\setminus \Delta,\C)$$

인가??예요. $\Delta$가 reduced simple normal crossing divisor라 이게 성립해요! 일종의 de Rham theorem인데, $H^i(X,\Omega^{\bullet}_X(\log \Delta))\otimes \O_X(-\Delta)=H^i_c(X\setminus \Delta,\C)$임을 증명하면 되고, 이제

$$ 0\to \Omega^i_X(\log \Delta)\otimes \O_X(-\Delta)\to \Omega^i_X\to \Omega^i_{\Delta}\to 0$$

$$ 0\to j_!\C_{X\setminus \Delta}\to \C_X\to \C_{\Delta}\to 0$$

을 생각하고 기존의 de Rham theorem과 five lemma를 생각하면 증명할 수 있겠지요? 첫번째 exact sequene를 만드는 것은 연습문제로 남길께요.

하지만 두 번째 문제는 그렇게 쉬운 건 아닌데, 제가 아는 증명은 딱 두 개예요. Sobolev space를 쓰던가 Deligne-Illusie argument를 생각하던가. 따라서 두번째 문제는 생략할께요.

쨌든, $\imath:X\setminus \Delta\to X$라고 한다면 저 degeneration of spectral sequence가 말하는 것은 $i=j=0$이라고 둬본다면 $i_!\C_{X\setminus \Delta}\to \O_X(-\Delta)$란 injection을 만들고, edge map을 생각한다면 이는 다음 surjection map

$$ H^i_c(X\setminus \Delta,\C)=H^i(X,\imath_!\C_{X\setminus \Delta})\to H^i(X,\O_X(-\Delta))$$

를 만들어요. 그리고 $\Delta$를 $D+\Delta$로 바꿔서 같은 argument를 반복한다면 $\imath_!\C_{X\setminus \Delta}\to \O_X(-\Delta)$는 $\imath_!\C_{X\setminus \Delta}\to \O_X(-D-\Delta)\to \O_X(-\Delta)$로 factor through되니까 저 cohomology 사이의 map은

$$ H^i(X,\imath_!\C_{X\setminus \Delta})\to H^i(X,\O_X(-D-\Delta))\to H^i(X,\O_X(-\Delta))$$

for all $i$가 되겠고 따라서 이것은 $H^i(X,\O_X(-D-\Delta))\to H^i(X,\O_X(-\Delta))$가 surjective란 걸 유도하겠지요??

Remark. 보면 알지만, 사실 degeneration of Hodge-to-de Rham spectral sequence의 full power를 쓰는 것 같아 보이지 않아요!! 하지만 이런 argument 없이 저걸 증명할 수 있을까요? Deligne-Illusie argument를 배껴본다면 characteristic $p$ case에서 $p$가 충분히 크다면 $H^i(D,\O_X(-\Delta)|_D)=0$ for $i<\dim X$임을 증명하라는 것이 되겠고, 이는 다시 Serre duality로 $H^i(D,\O_X(K_X+\Delta)|_D)=0$ for $i>0$임을 증명하라는 것이 되겠는데, Serre's cohomological criterion으로 적당한 $n$이 있어서 $H^i(D,\O_X(K_X+p^n\Delta)|_D)=0$이 되겠고 다시 Serre duality로 $H^i(D,\O_X(-p^n\Delta)|_D)=0$ for $i<\dim X$가 되고 Frobenius argument를 생각하면 $H^i(D,\O_X(-\Delta)|_D)=0$이 되고 증명이 끝나지요. 따라서 degeneration of Hodge-to-de Rham spectral sequence를 쓰는 건 과해보이기까지 해요. 정말로 과한 걸까요?? degeneration of Hodge-to-de Rham spectral sequence의 증명도 사실 이것하고 거의 다른 게 없는데(...)

Corollary. $X$가 smooth projective variety고 $\Delta$가 reduced simple normal crossing divisor on $X$라고 하자. 어느 ample Cartier divisor $D$ on $X$가 있어서 $\Supp D\subseteq \Supp \Delta$라고 하자. 그러면 $H^i(X,\O_X(-\Delta))=0$ for every $i<\dim X$가 된다. 또는 Serre duality로 $H^i(X,\O_X(K_X+\Delta))=0$이 된다.

Proof) Serre vanishing theorem하고 Serre duality로 $H^i(X,\O_X(-aD-\Delta))=0$ for some $a$ and for all $i<\dim X$가 되고 따라서 위의 Lemma로 $H^i(X,\O_X(-\Delta))=0$ for every $i<\dim X$가 되지요. 그리고 Serre duality를 생각하면 끝나겠지요?

이것을 좀 더 강화해서 다음을 증명할 수도 있대요.

Theorem. (Kodaira vanishing theorem) $X$가 smooth projective variety고 $H$가 ample Cartier divisor on $X$라고 하자. 그러면 $H^i(X,\O_X(K_X+H))=0$ for every $i>0$이 된다.

Proof) Bertini's theorem을 생각해서 smooth divisor $B$가 $B\in |mH|$ for some positive integer $m$에 대해서 있다고 하고 $f:X_1\to X$가 $m$-fold cyclic cover ramifying along $B$라고 해봐요. (뒤의 remark 참조) 그러면 $H^i(X_1,\O_{X_1}(-f^*H))=0$ for $i<\dim X_1=\dim X$임을 증명하면 되는데, 이는 $\O_X(-H)$가 $f_*\O_{X_1}(-f^*H)$의 direct summand라서 그래요. 이제 $\O_{X_1}(f^*H)$는 reduced preimage of $B$라는 section을 가지고, 이제 이 작업을 반복해서 하다 보면(Bertini's theorem을 쓸 때 $B$하고의 intersection의 dimension이 $B$의 dimension보다 작게 조절하면) $|H|$가 basepoint free임을 가정해도 되고, $\Delta\in |H|$가 smooth divisor라고 하면

$$ H^i(X,\O_X(-\ell \Delta))\to H^i(X,\O_X(-\Delta))$$

란 surjection이 for every $i$ and every $\ell\ge 1$에 대해서 생기고 이제 $\ell$을 엄청 키우면 Serre duality와 Serre vanishing으로 생기게 되지요.

Remark. 개인적으로 이거 받아들이는데 넘 힘들었어요... 제가 main reference로 쓰고 있는데 너무 불친절해서 ㅂㄷㅂㄷ

Remark. $m$-forld cyclic cover ramifying along $B$란 걸 설명할 거예요. $B$를 zero locus로 가지는 $mH$의 section을 하나 $s$라고 하자고요. 그렇다면 $X$의 affine covering을 $\{U_i\}$라고 하고 이게 $mH$에 대응되는 line bundle을 trivialize한다고 할 때 $s|_{U_i}\in mH|_{U_i}$가 $f_i\in \O(U_i)$에 대응된다고 하자고요. 그러면

$$ f^{-1}(U_i):=\Spec \O_X(U_i)[y]/(y^m-f)$$

로 정의하자고요. 이를 global하게 서술한다면 $H$에 대응되는 line bundle을 $\mathcal{L}$이라고 한다면 section $s$ of $\mathcal{L}^m$은 $f_0\mapsto sf_0$ for $f_0\in \mathcal{L}^{-m}(U_0)$으로 $\mathcal{L}^{-m}\to \O_X$란 map을 만들고, 이 map을 $\varphi_s$라고 한다면 algebra $\mathcal{A}$를 $\bigoplus_{i\ge 0}\mathcal{L}^{-i}t^i$를 $u$가 $\mathcal{L}^{-m}$의 local section일 때 $ut^m-\varphi_s(u)$들로 나눈 algebra라고 하고 $X_1=\Spec \mathcal{A}$로 정의할 수 있어요! 이게 local하게 어떻게 생겼나를 관찰해보면 $\{U_i\}$가 affine trivialization of $\mathcal{L}$이라고 하면 $\mathcal{L}^{-m}t^m$에서 $ut^m-us$가 $0$이 되어야 하고$\varphi_i:\mathcal{L}|_{U_i}\cong \O_X|_{U_i}$란 isomorphism을 잡으면 $\varphi:\bigoplus_{i\ge 0} \mathcal{L}^{-i}|_{U_i}\to \O_X(U_i)[\varphi(t)]/(\varphi(t)^m-s)$란 induced surjection은 그 kernel이 $ut^m-us$꼴임을 알 수 있고 따라서 이 두 description이 같음을 증명했어요. 그리고 이것은 $B$에서만 ramifying하고 나머지에선 etale임을 알 수 있는데, 이는 $B$ 바깥의 affine open subscheme $U$를 하나 잡으면 $\Omega_{f^{-1}(U)/U}$를 계산해보면 $\d y^m=my^{m-1}\d y$가 되는데, $y^m=f$ 자체가 $B$ 바깥에선 nonvanishing하니까 invertible하고 따라서 $y^m=y^{m-1}y$로 $y^{m-1}$가 invertible하게 되고 따라서 $\Omega_{f^{-1}(U)/U}=0$이 되어서 그래요. 그리고 $B$하고 이것의 inverse image는 서로 isomorphic이 된다는 것까지 remark할께요.

복잡해 보이지만 사실 idea는 그냥 "$s$의 $m$th root of unity를 생각하자"에 불과해요! 그리고 Kodaira vanishing theorem을 증명할 때 저런 covering들을 생각한 것은 직관적으로 $H$의 각 coefficient를 $1$로 만들고자(즉 reduced로 만들고자) 했던 것이 되겠지요.

다음에는 Kawamata-Viehweg vanishing theorem을 증명하도록 할께요!