Abelian variety 2

$\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Zp}{\mathbb{Z}_p} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Qp}{\mathbb{Q}_p} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Spec}{\mathrm{Spec}\,} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\bb}{\mathbb} \newcommand{\scr}{\mathscr} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\m}{\mathfrak{m}} \newcommand{\GL}{\mathrm{GL}} \newcommand{\et}{\mathsf{\acute{e}t}} \newcommand{\lara}[1]{\langle #1 \rangle} \newcommand{\leris}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\lerim}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\leril}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}} \newcommand{\Tor}{\mathrm{Tor}} \newcommand{\Ext}{\mathrm{Ext}} \newcommand{\holim}{\mathrm{holim}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\Gal}{\mathrm{Gal}} \newcommand{\Mod}{\mathsf{Mod}} \newcommand{\Coker}{\mathrm{coker}} \newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}} \newcommand{\unr}{\mathrm{unr}} \newcommand{\End}{\mathrm{End}} \newcommand{\op}{\mathrm{op}} \newcommand{\Sh}{\mathsf{Sh}} \newcommand{\Sch}{\mathsf{Sch}} \newcommand{\Alg}{\mathsf{Alg}} \newcommand{\p}{\mathfrak{p}}$

우리는 $\C$ 위에서 abelian variety가 어떻게 생겨야 하는지 볼 거예요. elliptic curve의 내용하고 거의 같아요.

Theorem. $A$가 $\C$ 위의 abelian variety of dimension $g$면 $A(\C)$엔 $\P^g_{\C}$의 submanifold로서 manifold로 볼 수 있다. 그러면 $A(\C)\cong \C^g/L$ for some full lattice $L$ of $\C^g$가 된다.

Proof) $v$가 $0$에 달린 아무 tangent vector라면 이걸로 $a:A\to A$를 $a$로 더하기라고 생각한다면 $\d a(v)$들을 모아서 vector field를 하나 만들 수 있고, $A$는 projective니 $A(\C)$는 compact고 따라서 적당한 local flow $\varphi_v:\R\to TA(\C)$가 있어서 $\varphi_v(0)=v$가 돼요. (이 내용) 그럼 $$ \exp(v)=\varphi_v(1)$$ 로 정의한다면 이는 $$ \exp:T_0(A(\C))\to A(\C)$$ 란 map을 정의해요. 당연히 $T_0(A(\C))=\C^g$가 되고, $\exp$는 $A$가 abelian group variety란 데에서 homomorphism임을 알 수 있고, 이제 남은 건 둘이에요.

1. 저 지수함수 $\exp$가 surjection이다.
2. 그럼 kernel은 full lattice of $T_0A(\C)$가 된다. 

첫번째는 $0\in A$ 주위에서 생각하면 $\d(\exp)$는 isomorphism이 되니까 inverse function theorem으로 $\exp$는 $0$ 주위에서 local isomorphism이 되고. 이는 사실 $0$에 $a$를 더하면 모든 점에서 대해서 local isomorphism이 되고, 따라서 $\exp$는 surjection이 되네요!! 두번째는 $0$ 주위에서 $\exp$는 local isomorphism이니 그 kernel은 $0$ 주위에선 $0$이고 따라서 $0$ 주위의 $T_0A(\C)$의 open set $U$가 있어서 $U\cap \Ker \exp=\{0\}$이고 따라서 $\Ker \exp$는 abelian group이어야 하니까 $\Ker \exp$는 full lattice여야만 하고, 따라서 증명이 끝났네요!! 

Remark. 보면 알 수 있지만 $\exp:T_0(A(\C))\to A(\C)$는 universal covering임을 알 수 있어요. 따라서 $A(\C)$의 fundamental group은 $\Ker \exp$가 되는 셈이지요!! 이는 위에서 abelian variety의 $p$-adic version이라고 말한 $p$-divisible group에 대해서도 완전히 똑같이 할 수 있어요.

모든 abelian variety over $\C$는 $\C^g/L$꼴이네요?? 하지만 그렇다고 모든 $\C^g/L$이 abelian variety인 건 아니에요!! 그럼 어떤 $\C^g/L$이 abelian variety인지를 찾는 멍청한(...) 질문을 할 수 있을 거예요.

Definition. $V$가 complex vector space of dimension $g$고 $L$이 $V$의 full lattice고 $V/L$은 complex torus of dim. $g$라고 하자. 그러면 $E$가 alternating form $L\times L\to \Z$일 때 $E\otimes \R:V\times V\to \R$을 만들 수 있고 이제 $E$가 "Riemann form"이란 것을

1.  $E\otimes \R(iv,iw)=E\otimes \R(v,w)$
2. The associated Hermitian form이 positive definite다.

이 둘이 만족될 때라고 하자.

별 거 아니고 $H(v,w)=E\otimes \R(iv,w)+iE(v,w)$라고 하면 그냥 Hermitian matrix예요. 이제 여기에서 두번째 조건이 빠지면 pseudo-Riemann form이라고 부를께요.

이 단원의 목표는 이것을 증명하는 거예요!!

Theorem. $X=V/L$가 적당한 abelian variety over $\C$가 있어서 $X=A(\C)$인 것과 $L$이 Riemann form을 가지는 것은 동치다.

다음 정리를 볼께요.

Theorem. (Appell-Humbert) $X=V/L$가 아무렇게나 주어져 있고 $\alpha:L\to S^1=\{z\in \C||z|=1\}$이 $E$를 $L$의 pseudo-Riemann form일 때 $$ \alpha(v+w)=e^{\pi i E(v,w)}\alpha(v)\alpha(w)$$ 를 만족한다고 하고 그 집합 $(E,\alpha)$를 잠시 $G$라 하자. 그럼 이는 $(E_1,\alpha_1)+(E_2,\alpha_2)=(E_1+E_2,\alpha_1\alpha_2)$로 정의하는 것으로 $(0,1)$과 함께 group이 되고, $V\times \C$에 $L$이 $$ (v,z)w=(v+w,e^{\pi H(v,w)+\frac{\pi}{2}H(w,w)}\alpha(w)z)$$ 란 식으로 act한다고 하자. 그러면 $V/L$의 모든 line bundle은 이런 식으로 만들어진다. 

이거 증명은 생략할께요 Mumford의 red book을 뒤적거려도 찾을 수 없네요 (...) 뭐 증명 쉬워보이니까요.

앞으로 이 pdf를 따라할 거예요. 다음을 증명할께요.

Lemma. (Frobenius) $L$이 free abelian group of rank $2g$라고 하자. $E$가 $\Lambda$의 nonzero bilinear alternating form(공역은 $\Z$)이라고 하자. 그러면 적당한 $e_i,v_i\in \Lambda$가 있어서 $$ \Lambda=\bigoplus_{1\le i\le g}(\Z e_i\oplus \Z v_i)$$ 가 된다. 그리고 $\Z e_i\oplus \Z v_i$들은 서로 모두 $E$-orthogonal하고 $d_i=E(e_i,v_i)$라고 한다면 $d_i$ 들이 모두 양수고 $d_1|d_2|\cdots|d_g$가 되도록 할 수 있다. 

Proof) 먼저 $d_1$을 $E$가 만들 수 있는 가장 작은 $0$이 아닌 자연수라고 하자고요. 그러면 $E(e_1,v_1)=d_1$인 $e_1,v_1$이 있을 테고 $$L_1=\Z e_1\oplus \Z v_1$$ 이라고 정의할께요. 그리고 $L^{\vee}_1$를 $E$에 대한 $L_1$의 orthogonal complement $$ L^{\vee}_1:=\{w\in L|E(v,w)=0\text{ for all }v\in L_1\}$$ 이라고 할께요. 그럼 $L^{\vee}_1$ 안에서 $E$가 될 수 있는 $0$ 아닌 가장 작은 자연수 $d_2$를 또 뽑을 수 있고 $d_1|d_2$가 아니라면 $d_1,d_2$로 $d_1$보다 더 작은 $d'_1$을 $d_1,d_2$의 linear combination으로 만들 수 있고 $d'_1=ad_1+bd_2$라고 하고 $E(e_2,v_2)=d_2$라고 하면

$$ \begin{align}E(ae_1+be_2,v_1+v_2)&=aE(e_1,v_1)+aE(e_1,v_2)+bE(e_2,v_1)+bE(e_2,v_2) \\ &=aE(e_1,v_1)+bE(e_2,v_2)=d'_1 \end{align}$$

으로 $d_1$의 최소성에 모순이고 따라서 $d_1|d_2$네요!! 그리고 $L=L_1\oplus L^{\vee}_1$라는 것은 $x\in L$이면 $x_1=ae_1+bv_1$이 $x-x_1\in L^{\vee}_1$이 되도록 잡자고요. 그니까 $e_1$ 대입하면 $$ 0=E(e_1,x-x_1)=E(e_1,x)-bd_1$$ 이 되니까 $b$를 잡을 수 있고 $v_1$을 대입하면 $a$를 잡을 수 있으니까 저 direct sum 증명도 끝나고 이제 induction으로 증명이 다 끝나네요!! 앞으로 $e_1,v_1,\cdots,e_g,v_g$를 $V$의 $E$에 대한 Frobenius basis라고 할께요.

이제 다음을 정의할께요.

Definition. $E$의 pfaffian을 $\mathrm{pf}(E)=\sqrt{|\det(E)|}$라고 정의하자.

Corollary. $\mathrm{pf}(E)$는 언제나 자연수다.

Proof) Frobenius basis $\{e_1,v_2,\cdots,e_g,v_g\}$를 잡고 이걸로 $E$를 행렬로 나타내면 $E(e_1,e_1)=0, E(e_1,v_1)=d_1$, 나머진 다 $0$이고 다른 것들도 마찬가지니까 $$ E=\begin{pmatrix}0 & d_1 & 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & 0 \\ -d_1 & 0 & 0 &0 & \cdots & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & d_2& \cdots & \cdots & 0 &0 \\ 0 & 0 & -d_2 & 0& \cdots & \cdots & 0 &0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots& \ddots & \ddots & \vdots &\vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots& \ddots & \ddots & \vdots &\vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0& \cdots & \cdots & 0 &d_g \\0 & 0 & 0 & 0& \cdots & \cdots & -d_g &0\end{pmatrix}$$ 가 되고 이걸의 determinant를 구하면 $d_1^2\cdots d^2_g$가 되니까 이건 자연수네요!!

이제 $Q:V\times L\to \C$가 first coordinate에서 $\C$-linear고 $J:L\to \C$라고 하자고요.

Definition. meromorphic function $F:V\to \C$가 theta function for $V$ over $L$ of type ($Q,J$)라는 것은 모든 $x\in V, y\in L$에 대해서 $$ F(x+y)=e^{2\pi i (Q(x,y)+J(y))}F(x)$$ 인 함수를 말한다.

이 정의에서 $E(x,y)=L(x,y)-L(y,x)$라고 쓸께요. 그러면 이것은 alternating이 돼요. $Q,J$에 대한 entire theta function들을 모두 모은 vector space를 $\mathrm{Th}(Q,J)$라 할께요. \\ 이 정의는 이름에서 알 수 있듯이 Riemann zeta function의 functional equation을 증명할 때 쓰이는 theta function $$ \vartheta(z,\tau)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}e^{\pi i n^2 \tau+2\pi i n z}$$ 에서 나왔어요. 그리고 저 요-상해보이는 정의는 이것이 이 functional equation $$ \vartheta(z+a+b\tau,\tau)=e^{-\pi i b^2 \tau -2\pi i b z}\theta(z,\tau)$$ 를 만들기 때문에 그렇고요. 이건 사실 $\C/L$이라는 elliptic curve의 ample line bundle을 만들어요!! 이건 $\P^2_{\C}$로 elliptic curve를 embed하지요. 따라서 $\wp(z)$, Weierstrass elliptic function은 저 theta function들의 대수식으로 표현할 수 있어요. 물론 미친듯이 복잡하겠지만요 뭐

다음 정리가 성립해요.

Theorem. $\dim \mathrm{Th}(Q,J)=\mathrm{pf}(E)$

Proof) $\theta$가 trivial theta function $$ \theta(z)=e^{2\pi i (q(z)+l(z)+c)}$$ ($q$ quadratic form of $V$, $l$ $\C$-linear on $V$, $c\in \C$)이라고 하면 $\theta$로 곱하는 건 당연히 isomoprhism이고 따라서 $$ \mathrm{Th}(Q,J)=\mathrm{Th}(Q+q,J+l)$$ 가 되고 이렇게 적당히 곱해서 $Q,J$에 다음과 같은 조건을 줄 수 있어요.

1. $Q(z+e_j)=0$ for every $z\in V$ and $j\in \{1,\cdots,g\}$
2. $J(e_j)=0$ for every $j\in \{1,\cdots,g\}$

이제 이 case에 대해서만 증명하면 $L$의 Frobenius basis $\{e_1,v_1,\cdots,e_g,v_g\}$를 잡고 $c_j=J(v_j)$라고 하자고요. 그러면 theta function이라는 건

$$ \begin{align} F(z+e_j)&=F(z) \\ F(z+v_j)&=F(z)e(z_jd_j+c_j) \end{align} $$

를 만족하는 함수가 되고 첫번째 조건은 그냥 $F$의 Fourier expansion을 생각해서 Fourier coefficient를 구해주면 $$ F(z)=\sum_{r\in \Z^g}a(r)e^{2\pi i(r\cdot z)}$$ 꼴이 되겠고 여기에서 두번째는 $$ a(r-d_je_j)=a(r)e^{2\pi i (r\cdot v_j-c_j)}$$ 라는 조건이 되고, $a(r)$은 $r$의 각각의 coordinate $r_j$들에 대해서 $0\le r_j<d_j$에 어떤 값을 넣느냐에 따라서 값이 완전히 결정되니까 총 경우의 수를 세면 $d_1\cdots d_g$가 되고 이건 그냥 pffafian이네요!! 근데 첫번째 판별하는 건 순 조합론이에요...

이제 이 section의 main theorem을 증명할 수 있어요!! 앞으로 $\mathrm{Th}(F)$를 theta function $F$하고 type이 같은 theta function들을 모은 vector space라고 할께요.

Proof) (Lefschetz) $V$의 entire theta function $F$를 생각해요. 이건 $$ f(x+y)=e^{pi\left(H(x,y)+\frac{1}{2}H(y,y)\right)}f(x)$$ 를 생각하면 있어요. 그럼 $\mathrm{Th}(F^3)$의 basis가 $V/L$의 very ample line bundle을 만들면 모든 것이 끝나요. 그니까 다르게 말하면 $\mathrm{Th}(F)$는 $V/L$의 ample line bundle을 만드는 셈이죠. 이제 아무 $a,b\in V$에 대해서 $$ F(z-a)F(z-b)F(z+a+b)$$ 를 생각하자고요. 그러면 각각의 $z$에 대해서 $z-a$가 $F$의 zero set에 없도록 할 수 있고, $b$를 잘 골라서 $z-b$하고 $z+a+b$가 $F$의 zero set에 없도록 할 수 있지요. 이건 모든 $z\in V$에 대해서 $\mathrm{Th}(F^3)$의 basis는 이제 이걸로 만든 morphism $$ V/L\to \P^{\mathrm{Th}(F^3)}$$ 이 injective임을 증명하면 되는데, 이게 injection이 아니어서 $x,y\in V$에서 같아지면 적당한 $\gamma\in \C^\times$가 있어서 모든 $b,z$에 대해서 $\theta\in \mathrm{Th}(F^3)$가 있어서 $$ \theta(x-z)\theta(x-b)\theta(x+z+b)=\gamma \theta(y-z)\theta(y-b)\theta(y+z+b)$$ 가 되고(위의 construction...) 이제 다시 쳐(...) 모든 $z_0$에 대해서 $b$를 $$ \theta(x-b)\theta(x+z_0+b)\theta(y-b)\theta(y+z_0+b)\ne 0$$ 이 되도록 할 수 있고... 생략할께요 (...) 저 lecture note를 보면 될 거예요. 반대 방향은 좀 더 쉬워요. 먼저 complex tori의 cohomology를 생각하자고요. complex tori는 topological manifold로 사실 $(S^1)^g$하고 다른 게 없고 따라서 Kunneth formula로 $$ H^i(\C^g/L,\Z)\cong \bigwedge^i H^1(A(\C),\Z)\cong \Z^{\binom{g}{i}}$$ 로 계산할 수 있어요. 좀 더 canonical하게 적어보면 $i=2$인 case에 대해선 $$ H_{2g-2}(A(\C),\Z)\cong H^2(A(\C),\Z)\cong \bigwedge^2 H^1(A(\C),\Z)\cong \Hom\left(\bigwedge^2 L,\Z\right)$$ 가 되고, 마지막 등호는 $H^1(A(\C),\Z)=\Hom(L,\Z)$에서 왔어요. 따라서 $H_{2g-2}(A(\C),\Z)$의 class를 하나 찾으면 되겠고, 이건 Bertini theorem으로 $A$를 $\P^n$에다가 묻으면 $\P^n$의 적당한 hyperplane $H$가 있어서 $A\cap H$은 smooth of dim. $g-1$이 되겠고, 따라서 이는 $H_{2g-2}(A,\Z)$의 nonzero class가 되고 이것이 Riemann form임을 증명할 수 있을 거예요.

Remark. $g=1$인 case에서, 모든 tori는 Riemann form이 달릴 수 있어요. 이는 elliptic curve theory에서 Weierstrass $\wp$-function을 하면서 증명할 거고, Silverman을 보세요.

Remark. 우리가 elliptic curve를 할 때 그냥 $E\cong \C/L$이라고만 알지만, 사실 $L$엔 더 많은 정보가 있어야 진정으로 elliptic curve가 된다는 내용이 저거예요. 저게 뭐냐고요?? 바로 level structure요!!

그러면 다음을 증명할께요. polarizable tori를 그냥 Riemann form이 있을 수 있는 tori라고 생각하고 두 polarizable tori 사이의 morphism을 $\alpha:V/L\to V'/L'$을 $\C$-linear map $\alpha:V\to V'$와 이것이 $L$을 $L'$으로 옮기는 무언가라고 생각할께요. 이는 Riemann form도 보존해요.

Theorem. Functor $A\mapsto A(\C)$는 category of abelian varieties over $\C$와 category of polarizable tori 사이의 equivalence를 만든다.

Remark. elliptic curve들의 moduli space를 생각할 수 있듯이 이것도 똑같아요. 다음을 정의할께요. $$ H_g:=\{\Omega\in M_{g}(\C)|\Omega=\Omega^T,\mathrm{Im}(\Omega)>0\}$$ 이걸 Siegel upper half plane라고 해요. 그렇다면, $\Omega\in H_g$가 있다면 이걸로 torus $X_{\Omega}=\C^g/(\Omega \Z^g+\Z^g)$를 하나 만들 수 있어요. 이건 $H_{\Omega}=\Omega^{-1}$를 Hermitian form으로 하는 abelian variety라고 생각할 수 있고 associate Rieman form $E_{\Omega}=\mathrm{Im} H_{\Omega}$는 $$ E_{\Omega}=\begin{pmatrix}0 & I \\ -I & 0\end{pmatrix}$$ 로 쓸 수 있어요.

그럼 다음 lemma를 볼께요.

Lemma. $g$-dimensional abelian variety with polarization(with Riemann form) $(A,E)$가 있다고 해보자. 그러면 적당한 $\Omega\in H_g$가 있어서 $(A,E)\cong (X_{\Omega},E_{\Omega})$가 된다.

Proof) $E$로 Frobenius basis $\{e_1,v_1,\cdots,e_g,v_g\}$를 생각하면 그냥 change of basis로 $$\begin{aligned}L&=\Omega \Z^g+\Z^{g} \\ e_i&=\text{ ith colume of } \Omega\\ v_g&=(0,\cdots,0,\underset{i\text{ th}}{1},\cdots,0) \end{aligned}$$ 로 둘 수 있겠죠??

당연히 저 위의 $\Omega$는 유일하지 않아요. 그럼 당연히 Riemann form을 유지하는 action에 대해서 죄다 나눠주면 되겠지요??

Definition. $R$이 ring일 때 Sympletic group $$ \mathrm{Sp}_{2g}(R)=\left\{M\in \mathrm{GL}_{2g}(R)|M^T\begin{pmatrix}0 & I \\ -I & 0\end{pmatrix}M=\begin{pmatrix} 0 & I \\ -I & 0\end{pmatrix}\right\}$$ 를 정의하자.

이것이 바로 Riemann form을 보존하는 거예요!!

Lemma. $\mathrm{Sp}_{2g}(\R)$은 $H_g$에 $\Omega\in H_g$면 $M=\begin{pmatrix} A & B \\ C & D\end{pmatrix}$가 $$ M\Omega=(A\Omega+B)(C\Omega+D)^{-1}$$ 이란 식으로 act한다.

증명은 귀찮으니... 생략할께요. \\ 이제 이 stabilizer를 $U_g(\R)$로 쓸께요. 이것의 explicit desctiption은 생략할께요. 그렇다면 $$ X_g=\mathrm{Sp}_{2g}(\Z)\backslash \mathrm{Sp}_{2g}(\R)/U_g(\R)\cong \mathrm{Sp}_{2g}(\Z)\backslash H_g$$ 를 정의할 수 있어요. 이것을 Siegel modular space of level 1이라고 할께요.

Theorem. $X_{\Omega}\cong X_{\Omega'}$란 것은 $M\in \mathrm{Sp}_{2g}(\Z)$가 있어서 $\Omega'=M\Omega$인 것이다. 그러니까 $X_g$는 abelian variety들의 moduli space가 된다.

이것은 variety로 representable하지 않아요. 왜냐하면 어떤 abelian variety에 nontrivial automorphism이 있기 때문이고, 이는 elliptic curve case하고 똑같지요. \\ 사람들은 여기에서 level struture를 이런 걸 representable하게 만들기 위함으로 설명하곤 해요. 그러니까 $X_1$을 modular curve $Y(N)$으로 만드는 과정이라고 설명하는 셈이지요. 전 이 설명을 개인적으로 싫어해요. 너무 ad hoc 같잖아요?? 여기에서 전 수학은 정수론의 일부(...)란 설명을 하고 있어요. 사실 $\C$가 아니라 $\Z$에서 놀아야 하고 더 위에서 $\Z$가 아니라 $\Z$+more structure에서 놀아야 하는 셈이지요!!(사실 $\Z$하고 $\Z$+more structure는 아예 다른 category에 있어야 하겠지만요.)

다음 시리즈는 abelian variety를 projective variety로 만드는 여러가지 작업을 할 텐데 detail이라고 생각될지 모르지만 abelian variety, 더 나아가서 abelian-type object($p$-divisible group, $F$-crystal, Breuil module,...)들의 essence를 관통하고 있다고 생각되는 여러가지를 소개하고 싶어요.