derived tensor product over perfect ring

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여기에 글을 오랜만에 쓰네요. 여길 안 썼던 이유는 단순히 티스토리에서 commutative diagram이 제대로 지원되지 않아서였어요.

Theorem. $A$가 char. p perfect ring이고 $B,C$가 $A$-algebra라고 하자. 그러면 $\Tor^A_i(B,C)^{\frac{1}{p^{\infty}}}=0$이 된다.

재미있는 것 같아요. 이건 perfect ring에겐 derived나 underived나 상관 없음을 말해주는 것 같아요.

Proof) 먼저 filtered colimit argument로 $B,C$가 $A$ 위에서 finite presentation이라고 해도 되고 그럼 $C=A[x_1,\cdots,x_n]/I$라고 해보자고요. 그럼 induction argument를 생각하면 $A[x_1,\cdots,x_{n-1}]$은 $A$ 위에서 flat이니까

$$ \Tor^A_i(B,C)^{\frac{1}{p^{\infty}}}=\Tor^{A[x_1,\cdots,x_n]}(B,C)$$

가 되고, 따라서 $A\to C$는 사실 surjection이라고 해도 되겠지요. 그리고 그 kernel을 $I$라고 하면 $I=(c_1,\cdots,c_n)$이라고 하면 $I'=(c_1,\cdots,c_{n-1})$라고 하면 

$$ 0\to A/I'\to A/(c_n)\to A/I=C\to 0$$

에다가 Tor functor를 씌우면 induction hypothesis를 생각하면 $I=(c)$가 principal이라고 해도 될 거예요.

이제 $C/I$에 대한 $i\ge 2$에서의 Tor functor는 펑펑 터지고 따라서 $\Tor^A_1(B,C)^{\frac{1}{p^{\infty}}}=\Tor^A_1(B^{\frac{1}{p^{\infty}}},C^{\frac{1}{p^{\infty}}})=0$임을 증명하면 되는데,

이제 $I^{\frac{1}{p^{\infty}}}\otimes_A B^{\frac{1}{p^{\infty}}}\to B^{\frac{1}{p^{\infty}}}$가 injection이면 모든 게 끝나는데, 이는 $a^{\frac{1}{p^n}}b=0$ for $b\in B^{\frac{1}{p^{\infty}}}$면 $a^{\frac{1}{p^n}-\frac{1}{p^{n+1}}}b=0$임을 증명할 수 있다면

$$ a^{\frac{1}{p^n}}\otimes b=\left(a^{\frac{1}{p^n}-\frac{1}{p^{n+1}}}a^{\frac{1}{p^{n+1}}}\right)\otimes b=a^{\frac{1}{p^{n+1}}}\otimes\left(a^{\frac{1}{p^n}-\frac{1}{p^{n+1}}}b\right)=0$$

이 되어 증명이 완전히 끝나고 남은 건 뒤의 lemma의 argument로 증명하면 되겠지요.

사실, 저것보다 좀 더 강력한 이게 성립해요.

Theorem. 위의 Theorem하고 같은 setting에서 $B,C$가 perfect ring이면 $\Tor^i_A(B,C)=0$ for $i>0$이다.

이걸 증명하는 데는 완전히 같은 argument로 $A\to C$가 surjection이고 그 kernel이 $I^{\frac{1}{p^{\infty}}}=(c^{\frac{1}{p^{\infty}}})$꼴이라고 가정 가능하고 다음 lemma를 보자고요.

Lemma. $I^{\frac{1}{p^{\infty}}}=(c,c^{\frac{1}{p}},c^{\frac{1}{p^2}},\cdots)$는 다음 direct limit

$$ A\overset{c^{1-\frac{1}{p}}}{\longrightarrow}A\overset{c^{\frac{1}{p}-\frac{1}{p^2}}}{\longrightarrow}A\overset{c^{\frac{1}{p^2}-\frac{1}{p^3}}}{\longrightarrow}\cdots$$

로 표현될 수 있다.

Proof) 저거 자체는 직관적으로 저 direct limit가 $\left\{\sum \frac{a_i}{c^{1-\frac{1}{p^i}}}\right\}$꼴로 생겨야 하고, 그럼 $c$를 곱하면 바로 $I$가 되지요.

좀 더 엄밀하게는, $\lim(A\to A\to \cdots)\to I$를 $n$번째 원소를 $a$라고 하면 이걸 $ac^{\frac{1}{p^n}}$으로 보낸다고 생각할께요.(저 위에 원소들은 모두 $0$번째 $A$에 들어가 있다고 가정할 때의 모습이니까, 다시 원래대로 돌아오게 하려면 이게 나와요) 그럼 이건 $n=0$이라고 하면 surjection이고 injection인 건 $ac^{\frac{1}{p^n}}=0$이면 $ac^{\frac{1}{p^n}-\frac{1}{p^m}}=0$ for some $m>n$이 되도록 하면 direct limit의 concrete definition으로 증명이 끝나고 그럼 $ac^{\frac{1}{p^n}}=0$의 양변에 $\frac{1}{p}$제곱을 씌우면 ($A$가 perfect라 가능해요) $a^{\frac{1}{p}}c^{\frac{1}{p^{n+1}}}=0$이 되고 따라서 양변에 $a^{\frac{p-1}{p}}$를 곱하면 $ac^{\frac{1}{p^{n+1}}}=0$이니까 여기에 다시 $c^{\frac{p-2}{p^{n+1}}}$을 양변에 곱하면 되겠네요.

이 lemma가 의미하는 것은 간단히 $I^{\frac{1}{p^{\infty}}}$가 flat $A$-module이란 거예요. 따라서

$$ 0\to I^{\frac{1}{p^{\infty}}}\to A\to C\to 0$$

이란 exact sequence를 생각하면 $\Tor^{i+1}_A(B,C)=\Tor^i_A(B,I^{\frac{1}{p^{\infty}}})$일 테니까 증명이 끝나지요.

이 증명을 직관적으로 생각해내는 것은 생각보다 어렵지 않아요. 먼저 reduction 과정은 아무나 할 수 있고 $cA$는 당연히 $A$ 위에서 flat이고 그럼 저 direct limit는 $c^{\frac{1}{p^n}}A$들의 union이라고 생각하면 되겠지요. 다만 $i=1$의 case가 조금 어려워보이긴 해요.

여기 증명은 https://www.math.uni-bonn.de/people/scholze/Witt.pdf에서 퍼왔어요.