Ring without 1

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보통은 ring을 정의하는데 1을 넣지요. 그리고 가환대수를 하고 싶다면 거기에 commutative, 꽤 많은 수학자들이 noetherian이란 조건도 추가하고요. 그러면 1 없는 ring은 어케 생겼을까요?

Definition. set with two binary operations $(R,+,\cdot)$이 "rng"이란 것은 $(R,+)$이 abelian group이고 $(R,\cdot)$이 associative law를 만족하고 모든 $a,b,c\in R$에 대해서 $(a+b)c=ac+bc, a(b+c)=ab+ac$인 것이다.

여기서 $1$이 없어도 됨에 주의해주세요. 예를 들면 $2\Z$는 rng이지만 ring이 아니에요.

Definition. rng $R$에 대해서 이것이 "ring"이란 것은 어느 $1_R\in R$이 있어서 $1_Ra=a1_R=a$ for all $a\in R$인 것이다.

$1_R$이 있으면 유일해요. 또 하나의 $1'_R$이 있으면 $1_R=1_R1'_R=1'_R$이겠지요. ring이란 것은 $\Z$같은 것을 말해요.

Definition. $R,S$가 rng이라고 하자. 그러면 "map between rngs" $f:R\to S$를 $f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b)$를 만족하는 함수 $f:R\to S$를 말한다.

Definition. $R,S$가 ring이라고 하자. 그러면 "map between rings" $f:R\to S$를 map between rng이면서 $f(1_R)=1_S$를 만족하는 $f:R\to S$를 말한다.

Example. map between rng이라고 map between ring이란 보장은 없어요. 심지어 $R,S$ 둘다 ring이라고 할 지라도요. $R=S=\Z\oplus \Z$라고 하면 $R,S$ 모두 identity를 $1_R=1_S=(1,1)$로 가지는데 $f:R\to S$를 $(a,b)\mapsto (a,0)$으로 두면 이건 map between rngs이 되지만 map between rings이 되지 못 해요.

Exercise. $S$가 integral domain(i.e. $ab=0$ for $a,b\in S$라면 $a=0\text{ or }b=0$)이고 $R$이 아무 ring이고 $f:R\to S$가 map between rngs이라면 $f$는 map between rings임을 증명하여라.

그렇다면, category of rings, 그니까 object를 ring으로 가지고 morphism을 map between rings로 가지는 category를 $\Alg_{\Z}$라고 쓸께요. 그리고 category of rngs는 $\Alg^{\mathrm{nu}}_{\Z}$라고 쓸께요. 그러면 모든 ring은 rng이니 다음 forgetful functor $\Alg_{\Z}\to \Alg^{\mathrm{nu}}_{\Z}$가 있게 돼요. 그러면 이것의 left adjoint가 있을까요?? 양쪽 모두 limit하고 colimit가 있고 이런 construction이면 왠만하면 있어요.

Construction. $R$이 rng일 때 여기에 딱히 $1$이 있어야 하는 당위는 없어요. 하지만 대신에 $1$을 강제로 붙혀줄 순 있겠지요. 먼저 $R\times \Z$란 "set"을 생각한 다음에 덧셈과 곱셈을

$$ \begin{align} (a,n)+(b,m)&=(a+b,n=m) \\ (a,n)(b,m) &=(ab,ma+nb+mn) \end{align} $$

이런 식으로 주자고요. 이는 $(a,n)=a+n$이라고 생각한다면 자연스러워 보이는 정의일 거예요. 그럼 이를 $R^{\mathrm{u}}$이라고 쓴다면 $R^{\mathrm{u}}$의 identity는 $(0,1)$이 되지요. 그리고 $R^{\mathrm{u}}\to \Z$는 $(a,n)\mapsto n$으로 정의할 수 있고, 이것의 kernel은 당연히 $R$이 돼요. 따라서 다음으로 정의할 수도 있을 거예요.

Definition. "rng"이란 것은 ideal of a ring을 뜻한다.

그러니까 rng과 ideal은 다른 게 전혀 없었고 그저 ideal은 ring에 dependent한 정의고 rng은 ideal에 dependent하지는 않은 정의란 차이점 "딱 하나"밖에 없는 셈이에요.

Theorem. There is a categorical equivalence $(\Alg_{\Z})_{/\Z}\cong \Alg^{\mathrm{nu}}$

Proof) argumented ring $\phi:R\to \Z$가 있으면 그 rng을 $\ker \phi$로 정의할께요. 그럼 commutative diagram을 하나 그려보면 argumented ring들 사이의 morphism은 $\ker \phi$들 사이의 morphism으로 옮겨지니까 이는 functority를 가지고 $f:\ker\phi\to \ker\phi'$란 map between rng이 있으면 $\phi:R\to \Z$ 안에서 $\phi(i)=i$임을 생각해서 $a\in R$이면 $R$을 $\ker \phi+i$들로 partition을 나눈다면 적당한 $a'\in \ker \phi,i$가 있어서 $a=a'+i$니까 $f(a)=f(a')+i$로 정의내리면 이건 map between rings가 되고 이 functor가 fully faithful이란 것까지 알 수 있어요. 그럼 남은 건 essentially surjective인가인데 위에서 rng가지고 ring을 construct했을 거예요.

이렇게 보면, rng이란 것은 장난이 아니라 "ideal에서 ring을 잊는다"란 sense에서 꽤 괜찮은 conception 도구로 쓰일 수 있어 보여요. 실제로 K-theory를 할 때 closed subscheme에 대한 long exact sequence를 생각할 때 꽤나 이 concept이 중요하다고 들었는데, 제가 대수위상을 하나도 안 해서 잘은 모르겠어요.