Perverse sheaf in a nutshell

$\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Spec}{\mathrm{Spec}\,} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\bb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\m}{\mathfrak{m}} \newcommand{\GL}{\mathrm{GL}} \newcommand{\et}{\mathsf{\acute{e}t}} \newcommand{\lara}[1]{\langle #1 \rangle} \newcommand{\leris}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\lerim}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\leril}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}} \newcommand{\Tor}{\mathrm{Tor}} \newcommand{\Ext}{\mathrm{Ext}} \newcommand{\holim}{\mathrm{holim}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\Gal}{\mathrm{Gal}} \newcommand{\Mod}{\mathsf{Mod}} \newcommand{\coker}{\mathrm{coker}} \newcommand{\Im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}} \newcommand{\unr}{\mathrm{unr}} \newcommand{\End}{\mathrm{End}} \newcommand{\op}{\mathrm{op}} \newcommand{\Sh}{\mathsf{Sh}} \newcommand{\Sch}{\mathsf{Sch}} \newcommand{\Set}{\mathrm{Set}} \newcommand{\Alg}{\mathsf{Alg}} \newcommand{\p}{\mathfrak{p}} \newcommand{\colim}{\mathrm{colim}}$

말 그대로 짧게 perverse sheaf를 소개해보고 싶어요. main reference는 Weil conjecture, perverse sheaves and $\ell$-adic Fourier-transform이에요.

1. Constrictible $\ell$-adic sheaf

$X,S$같은 scheme들은 모두 base algebraically closed field 위에서 separated and finite type이라고 할께요. 그리고 모든 morphism은 모두 그 base field 위의 morphism이라고 할께요. 그리고 $\Lambda=\Z/\ell$이라고 할께요.

먼저 $D(X):=D^b_c(X,\overline{\Q_{\ell}})$은 $\overline{\Q_{\ell}}$-constructible sheaf들의 bounded complex라고 할께요. 물론 더 정확한 정의는 좀 더 complicated하지만 잠깐 설명하자면 $ D^b_c(X,\overline{\Q_{\ell}}:=D^b_c(X,\overline{\Z_{\ell}})\otimes \Q_{\ell}$ (What is tensoring of category?)하고 $D^b_c(X,\overline{Z_{\ell}}):=\colim D^b_c(X,\O_K)$ in $2$-category of categories, $D^b_c(X,\O_K):=D^b_c(X,\O_K/\pi^n)$라고 정의할께요. 좀 더 풀어 쓰면 $(\mathcal{F},u_n), u_n:\mathcal{F}_{n+1}\to \mathcal{F}_n$이 constructible $\ell$-adic sheaf란 것은 $\mathcal{F}_{n+1}/\ell^n\mathcal{F}_{n+1}=\mathcal{F}_n$이란 것이고 그러면 cohomology를

$$ H^i(X,\mathcal{F}):=\lim_{\longleftarrow}H^i(X,\mathcal{F}_n)$$

로 정의한다면 바로 다음 exact sequence

$$ 0\to H^i(\mathcal{F}^{\bullet})/\pi^n\to H^i(\mathcal{F}^{\bullet}_n)\to H^{i+1}(\mathcal{F}^{\bullet})/H^{i+1}(\mathcal{F}^{\bullet}_n)\to 0$$

으로 $H^i(\mathcal{F})\in D^b_c(X,\overline{\Q_{\ell}})$가 되지요. 그럼 다음이 성립해요.

Theorem. (Deligne) $f:X\to S$가 compactificable morphism(e.g. quasi-compact, separated and finite presentation morphism)이라면 $Rf_!:D(X)\to D(Y)$란 functor에겐 right adjoint $f^!$가 붙는다. 따라서 다음 adjoint property가 성립한다.

$$ \Hom(K,f^!(L))\overset{\cong}{\longrightarrow}\Hom(Rf_!K,L)$$

Theorem. 다음 functorial isomorphism이 있다.

$$ Rf_*R\underline{\Hom}(K,f^!L)\overset{\cong}{\longrightarrow} R\underline{\Hom}(Rf_!(K),L)$$

여기서 $\underline{\Hom}$은 internal Hom이다.

이제 $s:X\to S=\Spec k$가 있을 때 $\omega_X=s^!(\overline{\Q_{\ell}}_S)$라고 정의하면 다음이 성립하지요.

Corollary. 다음 여덟이 성립한다.

1. $Rf_*(D_X(K))=D_S(Rf_!(K))$
2. $Rf_!(D_X(K))=D_S(Rf_*(K))$
3. $D_X\circ D_X=\mathrm{id}$
4. $D_S(f^*(K))=f^!(D_X(K))$
5. $D_S(f^!(K))=f^*(D_S(K))$
6. $R\underline{\Hom}(A,B)=D(A\otimes^L D(B))$
7. $Rf_!(A\otimes^L f^*B)=Rf_!A\otimes^L B$ (Kunneth formula)
8. $f^!R\underline{\Hom}(A,B)=R\underline{\Hom}(f^*(A),f^!(B))$

모두 Verdier dual이라고 부를 $D_X$의 성질에서 딸려나오는 성질들이에요. 중요한 건 Verdier dual은 정말로 duality기에 화살표의 순서를 바꾸고, 따라서 각각 방향이 다른 limit를 보존하는 $f_*$와 $f_!$, $f^*$와 $f^!$를 interchange한단 점이지요.

Theorem. $f:X\to S$란 morphism이 있을 때 $\mathcal{F}$가 $\ell$-adic sheaf일 때 $Rf_*\mathcal{F}$의 cohomological dimension은 $\ell$에 대해서 독립이고 덤으로 $\mathcal{F}$가 constructible sheaf라면 $R^if_*\mathcal{F}$ 역시 constructible sheaf다.

proper base change theorem의 main context기도 한 애지요.

Corollary. $R\underline{Hom}_{\Lambda}, Rf_*, Rf_!$들은 constrictivity를 보존한다. 그러니까 $D(X),D(Y)$에서 잘 정의된다.

잠깐 $f^!$를 정의해보자고요. 전 이렇게 하고 싶어요. 그니까 reduction을 엄청 해서 $X$가 connected고 $f$가 smooth일 때 $f$가 fibre의 dimension이 $d$면 $f^!K=f^*(K)[2d](d)$로 하고 connected가 아니면 각각의 connected component들에 대해서 해주면 되고 이 모든 게 잘 된단 것은 다음 trace map

$$ \mathrm{Tr}_f:R^{2d}f_!(\Lambda_X(d))\to \Lambda_S$$

때문에 정당화되지요. 사실 제가 여기 쓴 것들은 biduality theorem, finiteness하고 이 trace map의 construction 말곤 모두 자명한 것들밖에 없는데, 이 trace map의 construction만큼은 꽤 어렵고 ad hoc이고 이것때문에 $\ell$-adic cohomology theory가 한계를 맞이하고 있다고 전 생각해요. 그리고 closed immersion $i$에 대해선 $i^!\mathcal{F}=\underline{\Hom}(i_*\Lambda_Y,\mathcal{F})$라고 하면 smooth가 아닌 morphism에 대해서도 $f^!$를 $i:X\hookrightarrow X'$가 closed immersion이고 $g:X'\to S$가 smooth라고 하면 $f^!=i^!\circ g^!$로 정의할 수 있지요.

2. Perverse sheaf

다음을 정의할께요.

$$ B\in \!{}^pD^{\le 0}(X) \iff \dim \mathrm{Supp}(H^{-i}B)\le i$$

$$ B\in \!{}^pD^{\ge 0}(X) \iff \dim \mathrm{Supp}(H^{-i}DB)\le i$$

그러면 이는 perverse t-structure라고 불리는 걸 만들어요. 그리고 $\mathrm{Perv}(X)=\!{}^pD^{\le 0}(X)\cap \!{}^pD^{\ge 0}(X)$라고 정의하고 이것의 object를 perverse sheaf라고 할께요.

$X$의 point를 $x$라고 하고 $i_x:\bar{\{x\}}\to X$라고 하자고요. 그리고 $d(x)=\dim \bar{\{x\}}$라고 할께요.

Proposition. 다음이 성립한다.

$$ B\in \!{}^pD^{\le 0}(X)\iff H^ii^*_x B=0\text{ for }i>-d(x)$$

$$ B\in \!{}^pD^{\ge 0}(X) \iff H^ii^!_*B=0\text{ for }i<-d(x)$$

Example. $X$가 smooth고 $\mathcal{F}^{\bullet}$이 perverse sheaf고 lisse면 이건 $\dim X$에 concentrate해요. 그리고 일반적으로 $X$가 smooth면 여기 위의 perverse sheaf는 $-i$쪽의 sheaf는 support가 dimension이 최대 $\dim X-i$인 complex예요.

3. Gluing

앞으로 $i$는 closed immersion, $j$는 그와 반대되는 open immersion을 뜻한다고 생각할께요.

$T(U)$가 full triangulated subcategory of $D(U)$라고 하고 $T(Y)$도 full triangulated subcategory of $D(Y)$라고 하자고요. 그리고 다음 조건을 생각할 거예요.

$$ A\in T(U)\implies i^*Rj_*A\in T(Y)$$

이제 t-structure를 gluing할 예정인데, 이렇게 말이죠

$$ T(X,U)=\{B\in D(X)|j^*B\in T(U), i^*B\in T(Y), i^!B\in T(Y)\}$$

이건 $i^!Rj_*=0$땜에 $B\in T(U)$면 $Rj_*B\in T(X,U)$가 되고 이걸 노리고 정의한 거예요. 그럼 여기에 t-structure를 주기를

1. $B\in T^{\le 0}(X,U)\iff j^*B\in T^{\le 0}(U), i^*B\in T^{\le 0}(Y)$
2. $B\in T^{\ge 0}(X,U)\iff j^*B\in T^{\ge 0}(U), i^!B\in T^{\ge 0}(Y)$

로 줄 수 있고, 이것이 t-structure가 된단 내용은 생각보다 자명하지 못 해요... 쨌든 중요한 것은 다음이 성립한단 거예요.

Theorem. $j:U\to X$가 open subscheme of $X$고 $i:Y\to X$가 closed complement라고 할 때 $B\in D(X)$면

1. $B\in \!{}^pD^{\le 0}(X)\iff j^*B\in \!{}^pD^{\le 0}(U), i^*B\in \!{}^pD^{\le 0}(Y)$
2. $B\in \!{}^pD^{\ge 0}(X)\iff j^!B\in \!{}^pD^{\ge 0}(U), i^!B\in \!{}^pD^{\ge 0}$

가 된다.

Remark. perverse sheaf가 왜 있어야 하는지 이 시점에서 잠깐 생각해보자고요. 전 perverse sheaf가 완전 순전히 Verdier dual이 abelian category에 잘 작동하도록 하는 일종의 무언가라고 생각해요. perverse sheaf의 정의를 봐도, gluing axiom을 봐도 그렇지요. gluing을 왜 하냐고요?? smooth일 땐 Verdier dual이 보존되는 abelian category를 찾는 게 어마어마하게 쉬운데 smooth가 아니면 smooth locus를 먼저 생각한 다음에 그 나머지 closed subscheme하고 smooth locus를 "붙히기" 위해서예요. 사실 그다지 맘에 드는 설명은 아니에요. 왜냐면 locally compact space에서의 Verdier duality는 smoothness에 전혀 의존하지 않기 때문이고 따라서 perverse sheaf를 할 때의 gluing은 그저 도구에 불과하지 딱히 본질은 아니란 느낌을 받아요. 하지만 gluing으로 만들 intermediate extension은 분명히 perverse sheaf의 본질이 맞아보여요.

이제 perverse t-structure로 $\!{}^pH^i$란 cohomology functor를 정의할께요. 그렇다면 다음이 성립해요.

Lemma. $j_!,i^*$는 t-right exact고 $Rj_*,i^!$는 t-left exact고 $i_*,j^*$는 t-exact다.

Proof) $i_*$에 대해선 $j^*i_*=0, i^*i_*=\mathrm{id}$기 때문이고 $Rj_*,j_!$에 대해선 $j^*$의 t-exactness땜에 그래요. 그니까

$$ \Hom(\!{}^pD^{\le -1}(X),Rj_*B)=\Hom(j^*D^{\le -1}(X),B)\subseteq \Hom(\!{}^pD^{\le -1}(U),B)=0$$

땜에 그렇고 $j_!$에 대해서도 마찬가지로 해주면 되겠지요. $j^*, i^*,i^!$에 대해선 그냥 t-exactness의 정의에 집어넣으면 되겠지요.

우리는 두 triangle을 가지고 있어요.

$$ j_!j^*K\to K\to i_*i^*K\to $$

$$ i_*i^!K\to K\to Rj_*j^*K\to $$

이제 위의 lemma로 $\!{}^pH^{-1}Rj_*j^*B=0,\!{}^pH^1(j_!j^*K)=0$이고 따라서 다음 두 exact sequence를 얻을 수 있어요.

$$ 0\to i_*\!{}^pH^{-1}(i^*B)\to \!{}^pH^0(Rj_!B)\to B\to i_*\!{}^pH^0(i^*B)\to 0$$

$$ 0\to i_*\!{}^pH^0(i^!B)\to B\to \!{}^pH^0(Rj_*j^*B)\to i_*\!{}^pH^1(i^!B)\to 0$$

자, 이 두 exact sequence를 관찰하자고요. $B$에게 $i_*\!{}^pH^0(i^!B)$보다 더 큰 $i_*\mathrm{Perv}(X)$ 안의 더 큰 quotient가 있다면 정의를 그대-로 따라가면 모순이 나오고 따라서 $i_*\!{}^pH^0(i^*B)$는 $B$의 가장 큰 quotient고 이는 $i_(\!{}^pH^0(i^*B)$에게도 마찬가지라서 이건 $B$의 가장 큰 subobject예요.

4. Intermediate extension

Lemma. $B$가 $U$ 위의 perverse sheaf라고 하자. $j^*B'=B$라고 하자. 다음들은 모두 동치다.

1. $B'$는 $i_*\mathrm{Perv}(Y)$에서 그 어떤 subobject나 quotient도 가지지 않는다.
2. $\!{}^pH^0(i^*B')=\!{}^pH^0(i^!B')=0$
3. $i^*B'\in \!{}^pD^{\le -1}(Y), i^!B'\in \!{}^pD^{\ge 1}(Y)$
4. $i^*B'\to i^*Rj_*B$는 다음 adjunction map $\mathrm{ad}:\!{}^p\tau_{\le -1}(i^*Rj_*B)\to i^*Rj_*B$하고 isomorphic하다.
5. $i^*Rj_*B\to i^!B[1]$은 $\mathrm{ad}:i^*Rj_*B\to \!{}^p\tau_{\ge 0}(i^*Rj_*B)$하고 isomorphic하다.
6. $B'\to Rj_*B$는 $\tau^Y_{\le -1}(Rj_*B)\to Rj_*B$하고 isomorphic하다.
7. 다음 exact triangle $B'\to Rj_*B\to i_*\!{}^p\tau_{\ge 0}i^*Rj_*B\to $가 있다.

Proof) 나머진 다 쉽고 1,2,3에서 4,5,6으로 가는 건 $i^*B'\to i^*Rj_*B\to i^!B'[1]\to $를 생각하면 되고 7은 $\tau^Y_{\le -1}Rj_*B\to Rj_*B\to i_*\!{}^p\tau_{\ge 0}i^*Rj_*B\to$를 생각하면 되지요.

앞으로 이런 $B'$를 $B$의 intermediate extension이라고 하고 $j_{!*}B$라고 쓸께요.

Verdier duality는 "duality"예요. 이런 duality는 representation theory에서의 duality가 representation들의 category를 semisimple로 만들었듯이, Verdier duality는 perverse sheaf의 simple object를 생각하도록 만들지요.

Theorem. $\mathrm{Perv}(X)$의 모든 simple object는 $i_*B$ for $B\in \mathrm{Perv}(Y)$거나 $j_{!*}B$ for $B\in \mathrm{Perv}(U)$가 된다.

Proof) Theorem이라고 썼지만 증명은 간단해요. simple object라면 쨌든 저 exact sequence 둘에서 봤을 때 $i_*\!{}^pH^0(i^*B)=0$, $i_*\!{}^pH^0(i^!B)=0$니까 $0\to j_!j^*B\to B\to i_*i^*B\to 0$란 걸 생각했을 때 $B=j_!j^*B$면 후자고 아니면 전자겠지요 뭐 여기서 $j^*j_*=i^*i_*=\mathrm{id}$임을 기억해두세요.

Theorem. $D(j_{!*}B)=j_{!*}DB$

Proof) 자-명

Theorem. $\mathrm{Perv}(X)$는 noetherian임과 동시에 artinian이다.

Proof) inductio으로 $X$의 모든 closed subscheme에 대해서 이게 성립한다고 하고 그럼 $B$가 $U$ 위에 있다고 하고 $B'$가 $B$의 아무 extension일 때 $$0\to i_*\!{}^pH^0(i^!B)\to B\to \!{}^pH^0(Rj_*j^*B)\to i_*\!{}^pH^1(i^!B)\to 0$$를 생각한다면 $i_*$는 t-exact니 첫네번째는 induction hypothesis로 된 거고 세번째는 위 Lemma의 7번째의

$$ j_{!*}B\to \!{}^pH^0(Rj_*B)\to i_*\!{}^pH^0(i^*Rj_*B)\to 0$$

를 생각하면 세번째도 induction hypothesis를 생각할 수 있고 첫번째는 생각해보니 저 $i,j$가 뭔지 안 정했는데 이걸 $B$가 lisse가 되도록 $j:U\to X$를 정하면 되는데 이건 $U$가 smooth가 되도록 잡으면 되겠고 그럼 lisse sheaf는 $\pi^{\et}_1(U,x)$가 compact profinite group이니까 irreducible constituents로 나뉘게 되고 이런 constituents를 $j_{!*}$로 보내면 모든 증명이 끝나겠지요?

Lemma. $B$가 $U$ 위의 perverse sheaf일 때

1. $\!{}^pH^0(Rj_!B)$는 nonzero quotient object in $i_*\mathrm{Perv}(Y)$를 갖는다.
2. $\!{}^pH^0(Rj_*B)$는 nonzero subobject in $i_*\mathrm{Perv}(Y)$를 갖는다.

Proof) straightforward calculation of $\Hom(\!{}^pH^0(Rj_!B),i_*A)$ using $i^*Rj_!=i^!Rj_*=0$

Corollary. $j_{!*}B=\Im(\!{}^pH^0(Rj_!B)\to \!{}^pH^0(Rj_*B))$

Example. 드디어 smooth scheme 이외의 scheme에 대해서 perverse sheaf를 분류할 수 있게 된 것 같아요. $X$가 smooth curve고 $U$가 $X$에서 smooth인 점들만 모은 거라고 하고 $Z$를 그 나머지라고 하면 $\mathrm{Perv}(X)$의 simple object들은

1. $i_{x*}\overline{\Q_{\ell}}$ for $x\in Z$
2. simple lisse sheaf $\mathcal{F}$ over $U$에 대해서 $j_{!*}\mathcal{F}$

가 되지요.

Example. intermediate extension을 하나 explicit하게 계산해볼께요. 위에선 $\ell$-adic setting으로 했지만 편의상 complex setting으로 바꿀께요 이는 cohomology 계산의 용이성을 위해서예요. $\{0\}\hookrightarow \P^1$을 생각하면 $\P^1\setminus \{0\}$에서 lisse인 $\Q$에 대해서 저 위의 lemma 5번째에 의해서 $j_{!*}\Q[1]=\tau_{\le -1}(Rj_*\Q[1])$가 되고, 그럼 $Rj_*\Q[1]$ $-1$th stalk cohomology는 $0$ 바깥에선 $\Q$고 나머지 stalk cohomology는 모두 $0$인데, $0$에선 $-1$th stalk cohomology를 생각하면 $\Q$인 건 똑같은데 $0$th stalk cohomology도 있어요! 그것은 $\Q$지요. 따라서 $j_{!*}\Q[1]$은 $-1$에선 모든 점에서 stalk가 $\Q$고 $0$에선 아무것도 없는 sheaf가 되겠네요!

5. Preserving perversity

먼저 다음을 소개하자고요.

Theorem. (Artin) $f:X\to S$가 affine morphism이면 $X$의 cohomological dimension은 $S$의 cohomological dimension에 $f$의 fibre의 dimension을 더한 것보다 작거나 같다.

Proof) 증명을 Stacks project에 넘길께요.

Corollary. $f:X\to Y$가 affine map이라고 하자. 그러면 $Rf_*$는 t-right exact고 $Rf_!$는 t-left exact with respect to perverse t-structure가 된다.

Proof) $Rf_*(\!{}^pD^{\le 0}(X))\subseteq \!{}^pD^{\le 0}(Y)$를 증명하면 되는데 정의를 그대로 unwinding한다면 $R^if_*(H^jA)\implies H^{i+j}(Rf_*A)$란 spectral sequence로 바로 나오지요. $Rf_!$에 대해선 Verdier dual을 씌우면 되고요.

Caution. $f$가 affine이 아니면 성립하지 않아요. 간단히 $\mathbb{A}^2\setminus \{0\}\hookrightarrow \mathbb{A}^2$만 봐도 다시 complex setting에서 보면 $0$에서 $j_*\Q$의 third stalk cohomology가 $\Q$가 나오면서 perverse하곤 거리가 멀어지지요. $\ell$-adic setting에서 하는 건 etale fundamental group에서 하면 될 것 같긴 한데 제가 etale fundamental group을 잘 안 해서 어떻게 하는진 잘 몰겠어요

Corollary. $f:X\to Y$가 affine and quasi-finite라면 $f_*,f_!$는 t-exact다.

Proof) Zariski main theorem+$f$가 finite면 proper

Lemma. $X,Y$가 connected라고 하자. $f:X\to Y$가 faithfully flat이고 그 fibre의 dimension이 $d$면 $f^*[d], Rf_![d]$는 t-right exact고 $f^![-d], Rf_*[-d]$는 t-left exact다.

Proof) Verdier dual을 씌우면 $f^*$만 하면 되고 이 땐 $\dim \mathrm{Supp}(f^*H^{-i}B)\le \dim \mathrm{Supp}(H^{-i}B)+d$니까 되겠지요.

Theorem. $X,Y$가 connected라고 하자. $f$가 smooth면 $f^*[d]=f^$는 t-exact다.

당연한 이야기지만, $f$가 flat이 아닐 수도 있어요. smooth란 조건은 너무 강하고요. 다음을 정의할께요.

Definition. $Y$를 locally closed subset들 $Y_{\alpha}$들로 나누자. 여기서 $Y_0$은 open and dense on $Y$라고 하자. 이런 partition을 $P$라고 하자. 그러면

1. $2\dim f^{-1}(y)\le n-\dim Y_{\alpha}$ for $y\in Y_{\alpha}$면 $f$를 semi-small이라고 하자.
2. $\alpha\ne 0$일 때 $2\dim f^{-1}(y)\le n-\dim Y_{\alpha}$ for $y\in Y_{\alpha}$고 $f$가 semi-small이면 $f$를 small이라고 하자.

그럼 다음을 증명하는 건 쉬운 일일 거예요.

Lemma. $\mathcal{F}$가 etale $\overline{\Q_{\ell}}$-sheaf on $X$ in the ordinary sense라고 하고 $K^{\bullet}=Rf_!\mathcal{F}[n]$이라고 하면

1. $f$가 semi-small이면 $K^{\bullet}\in \!{}^pD^{\le 0}(Y)$
2. $f$가 small이면 $K^{\bullet}|Z\in \!{}^pD^{\le -1}(Z)$

semisimplicity와 degeneration of Leray spectral sequence까지 하고 싶지만 여기에서 마치도록 할께요!